카드 게임의 가챠 확률의 고찰(부제: distribution의 종류)

카드 게임의 가챠 확률의 고찰(부제: distribution의 종류)

※ 이 포스팅을 읽기전에, 포스팅보다 더 잘 정리된 곳이 있습니다. 이 포스팅은 저의 개인적인 자료정리 및 개인 이해를 돕기 위한 자료입니다. --> 참고자료 

 오늘도 세미나를 하고  한껏 무가치한 기분을 느끼며 잔소리를 들을 ... ... 뻔! 했지만 안들었습니다 ㅜ..하지만 내적으로는 이미 울음 백만번 삼켜버렸고.. 침울한 기분을 애써 떨치고 왔더니 박사님께서 친절하게 확률론에 대해서 이야기를 해주더라구요. 확률의 예시를 들어가면서.... 그런데, 카드 가챠 확률이 0.1%라고 적혀있는게 1000번해서 1번이 나오는 게 아니라는 충격적인 발언을 하시면서(!!) 더 알아보라고 하셨습니다.

 한달 전, 러X 프XX서 게임의 가챠 확률에 배신감을 느끼고 있었는데 0.1%가 정말로 우리가 생각하는 0.1% 확률이 아니라고 하시는데...

그래서, 오늘은 random variable과 PMF distribution에 대해서 이야기를 해보려고 합니다.

random variable은 영어로 적어보이니 있어보이지만, 간단히 이야기해서 변수입니다. 예를들어, 주사위를 던졌을때 나올 수 있는 것은 1부터 6까지의 총 6개입니다. random variable은 이 각각의 1,2,3,4,5,6을 지칭합니다. 가챠의 확률분포는 보통 Bernoulli trial(베르누이 분포)를 따르는데요. 주사위를 던졌을 때, random variable 1이나올 확률은? 1/6이죠. 베르누이 분포는 다음과 같이 생겼습니다.

p(k)=pk(1−p)1−k , k=0,1

p(k)=pk(1−p)1−k , k=0,1

p는 성공할 확률을 말합니다.  반대로 1-p의 경우는 실패할 확률을 이야기 하겠지요. 우리가 생각했을 때의 가챠의 확률은 이 베르누이 분포를 이용하여 0.1%의 확률로 카드를 뽑았을 떄 5성카드, 혹은 SSR의 random variable이 나올 확률이 1000번을 뽑으면 1번이 나올 거라는 생각을 하고 뽑게 됩니다. 

 엥? 근데 그게 아니랍니다. 카드가챠가 0.1%여도 1000번 뽑아 1번이 나오는 사람이 되는 확률이 따로 있기 떄문이지요 즉, 1000번의 시행 속에서 1번이상을 뽑을 확률은 아래의 식으로 계산할 수 있습니다.

p(k)=(nk)pk(1−p)n−k , k=0,1,⋯,n

p(k)=(nk)pk(1−p)n−k , k=0,1,⋯,n

위에 보이는 식은 Binomial distribution입니다. 실제로 1000개의 카드 가챠를 돌렸을 때, 아이템 A가 한 개 나올 확률은 36.8%입니다. 한 개도 얻지못할 확률 역시 36.8%입니다. 한개이상 나올 확률은...? 약 20%정도겠네요. 즉. 100 명의 플레이어가 1,000개의 가챠를 돌렸을 떄, 약 37명 정도는 SSR 혹은 5성급 카드를 얻지 못합니다.

확률형 아이템을 거의 성공적으로, 약 95% 확률로 얻기 위해서는  2,995번의 가챠를 돌려야 합니다. 99%는? 4,603번을 돌려야 하지요,,,

(이부분은 음이항 분포를 이용하여 계산합니다. 레퍼런스에 보면 친절하게 나와있습니다.)

 

 1000번하여 한번 나올 확률이 대략 50%정도 확률이라고 생각했는데, 이렇게 보니까 자세히 몰랐다는 느낌이 더 강하네요.

개인적으로, 고등학교에서 가르치는 수학에 이런 확률 분포에 대한 자세한 내용이 더 추가되었으면 하는 바람입니다.

모두가 Bernoulli trial만 믿고 1%의 확률에 백 번 가챠해보지 않기를...

참고자료

[1] 박장시, 2015, 확률형 아이템을 위한 다항 분포, http://www.boxnwhis.kr/2015/06/04/multinomial_dist_for_gachas.html